Question

【题目】如图1，把矩形放在平面直角坐标系中，边在轴上，边在轴上，连接，且，过点作平分交于点．动点在线段上运动，过作交于，过作交于．

（1）当时，在线段上有一动点，轴上有一动点，连接当周长最小时，求周长的最小值及此时点的坐标；

（2）如图2，在（1）问的条件下，点是直线上的一个动点，问：在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点及对应的点的坐标，若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）周长的最小值为6，N（0,1）；（2）存在，P（，），对应Q（0，）或P（，），对应Q（0，）．

【解析】

（1）根据角平分线、平行线以及矩形的性质得出∠EFG=30°，设EG=a，表达出△EFG的面积，求出a的值，进而求出OE的值，连接DE，DF，作点E关于y轴的对称点H，连接DH，证明△CEF≌△CDF（SAS），得到点E与点D关于AC对称，确定周长的最小值为DH，求出点D和点H的坐标，即可求出DH的值，待定系数法求出直线DH的解析式，即可求出点N的坐标；

（2）待定系数法求出直线AC的解析式，设点P（p，p+3），①若∠QPE=90°，PQ=PE，过点P作PK⊥y轴于点K，PJ⊥x轴于点J，证明△PKQ≌△PEJ（AAS），得到QK=EJ，PK=PJ，列出方程即可求出p，进而求出P和Q的坐标；②当∠QEP=90°时，EQ=EP，过点P作PR⊥x轴于点R，证明△OQE≌△REP（AAS），得到PR=OE=，OQ=ER，列出方程即可求出p，进而得到P和Q的坐标即可．

解：（1）∵四边形OABC是矩形，

∴∠BCO=90°，BC=OA=3，

∵∠ACO=30°，

∴∠ACB=60°，

∵CD平分∠ACB，

则∠ACD=∠BCD=30°，

∵FG∥CD，

∴∠CFG=∠ACD=30°，

∴∠ACO=∠CFG=30°，

∴CG=FG，

∵EF⊥OC，∠ACO=30°，

∴∠EFC=60°，

∴∠EFG=60°-30°=30°，

设EG=a，则FG=2a，

∴EF=，

∴，即，解得：a=，

∴EF=，FG=CG=，

∴CE=CG+EG=+=2，

∵OA=3，∠AOC=30°，

∴AC=6，OC=，

∴OE=，

连接DE，DF，作点E关于y轴的对称点H，连接DH，

∵∠BCD=30°，BC=3，∠B=90°，

设BD=b，则DC=2b，

∴b2+32=(2b)2，解得：b=，则DC=2，

∴CE=CD，

在△CEF与△CDF中，

CE=CD，∠ECF=∠DCF，CF=CF，

∴△CEF≌△CDF（SAS），

∴EF=DF，

∴CF垂直平分DE，

∴点E与点D关于AC对称，

∴周长的最小值为DH，

∵BD=，AB=OC=3，

∴AD=2，则D（2，3），

又∵点H（-，0），

∴DH=，

周长的最小值为6，

设直线DH的解析式为y=kx+t，

将D（2，3），H（-，0）代入得：，

解得：k=，t=1，

∴y=x+1，

当x=0时，y=1，

∴N（0,1）

（2）存在，

设直线AC为y=mx+n，将点A（0,3），C（3，0）代入得：

，解得m=，n=3，

∴y=x+3，

设点P（p，p+3），

①若∠QPE=90°，PQ=PE，

如图①，过点P作PK⊥y轴于点K，PJ⊥x轴于点J，

∵∠KOJ=∠PKO=∠PJO=90°，

∴∠KPJ=90°，

∵∠QPK+∠KPE=∠JPE+∠KPE=90°，

∴∠QPK=∠EPJ，

又∵PQ=PE，∠PKQ=∠PJE=90°，

∴△PKQ≌△PEJ（AAS），

∴QK=EJ，PK=PJ，

即p=p+3，解得：p=，

∴P（，）

∴QK=EJ=-=，

∴OQ=OK+QK=+=，

∴Q（0，）；

②当∠QEP=90°时，EQ=EP，

如图②，过点P作PR⊥x轴于点R，

∵∠QEP=90°，∠QOE=90°，

∴∠OQE+∠QEO=90°，∠QEO+∠PER=90°，

∴∠OQE=∠PER，

在△OQE与△REP中，

∠QOE=∠ERP=90°，∠OQE=∠PER，QE=EP，

∴△OQE≌△REP（AAS），

∴PR=OE=，OQ=ER，

即p+3=，解得p=，

∴P（，），

∴OQ=ER=-=，

∴Q（0，）

综上所述，P（，），对应Q（0，）或P（，），对应Q（0，）．