Question

【题目】在中，，翻折，使点落在斜边上某一点处，折痕为（点、分别在边、上）

当时，若与相似（如图），求的长；

当点是的中点时（如图），与相似吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由见解析

【解析】

（1）如图1，连接CD，由已知条件得到△ABC是等腰直角三角形由于△CEF与△ABC相似，于是得到△CEF也是等腰直角三角形求得∠CEF=∠A=45°，于是得到EF∥AB，由轴对称的性质等等EF⊥CD，求出CD⊥AB，根据直角三角形的性质即可得到结论；

（2）如图2，连接CD，与EF交于点Q，根据直角三角形的性质得到CD=DB=AB，于是得到∠DCB=∠B，由轴对称的性质得到∠CQF=∠DQF=90°，推出∠DCB+∠CFE=90°，由于∠B+∠A=90°，于是得到∠CFE=∠A，即可得到结论．

如图，连接，

∵，

∴是等腰直角三角形

又∵与相似，

∴也是等腰直角三角形

∴，

∴，

由轴对称的性质知：，

∴，

又∵，

∴点是的中点，

∴；

当点是的中点时，与相似，

理由如下：如图，连接，与交于点，

∵是的中线，

∴，

∴，

由轴对称的性质可知，，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴．