Question

【题目】如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．

（1）求点B，C的坐标；
（2）判断△CDB的形状并说明理由；
（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（﹣1，0）在抛物线y=﹣（x﹣1）2+c上，

∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得c=4，

∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4，

令x=0，得y=3，∴C（0，3）；

令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）．

（2）

解：△CDB为直角三角形．理由如下：

由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）．

如答图1所示，

过点D作DM⊥x轴于点M，则OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．

过点C作CN⊥DM于点N，则CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．

在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC= ；

在Rt△CND中，由勾股定理得：CD= ；

在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD= ．

∵BC2+CD2=BD2，

∴△CDB为直角三角形（勾股定理的逆定理）．

（3）

解：设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），

∴ ，

解得k=﹣1，b=3，

∴y=﹣x+3，

直线QE是直线BC向右平移t个单位得到，

∴直线QE的解析式为：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t；

设直线BD的解析式为y=mx+n，∵B（3，0），D（1，4），

∴ ，

解得：m=﹣2，n=6，

∴y=﹣2x+6．

连接CQ并延长，射线CQ交BD于点G，则G（ ，3）．

在△COB向右平移的过程中：

（I） 当0＜t≤ 时，如答图2所示：

设PQ与BC交于点K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．

设QE与BD的交点为F，则： ，解得 ，∴F（3﹣t，2t）．

S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE= PEPQ﹣ PBPK﹣ BEyF= ×3×3﹣ （3﹣t）2﹣ t2t= t2+3t；

（II） 当 ＜t＜3时，如答图3所示：

设PQ分别与BC、BD交于点K、点J．

∵CQ=t，

∴KQ=t，PK=PB=3﹣t．

直线BD解析式为y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t，

∴J（t，6﹣2t）．

S=S△PBJ﹣S△PBK= PBPJ﹣ PBPK= （3﹣t）（6﹣2t）﹣ （3﹣t）2= t2﹣3t+ ．

综上所述，S与t的函数关系式为：

S= ．

【解析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标；（2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形；（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：
（I）当0＜t≤ 时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；
（II）当 ＜t＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形．