【题目】探究题

【问题提出】
已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积．
【问题探究】
为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究．
探究：在Rt△ABC（图1）中，∠ABC=90°，AC=b，BC=a，∠C=α，求△ABC的面积（用含a、b、α的代数式表示）
在Rt△ABC中，∠ABC=90°
∴sinα=
∴AB=bsinα
∴S△ABC= BCAB= absinα
（1）探究一：
锐角△ABC（图2）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）
求：△ABC的面积．（用含a、b、α的代数式表示）
（2）探究二：
钝角△ABC（图3）中，AC=b，BC=a，∠C=α（0°＜α＜90°）
求：△ABC的面积．（用含a、b、α的代数式表示）
（3）【问题解决】
用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法
是
（4）已知平行四边形ABCD（图4）中，AB=b，BC=a，∠B=α（0°＜α＜90°）
求：平行四边形ABCD的面积．（用含a、b、α的代数式表示）

参考答案：

【答案】
（1）

如图2中，作AH⊥CB于H．

在Rt△AHC中，∠AHC=90°

∴sinα=

∴AH=bsinα

∴S△ABC= BCAH= absinα


（2）

如图3中，作AH⊥CB于H．

在Rt△AHC中，∠AHC=90°

∴sinα= ，

∴AH=bsinα

∴S△ABC= BCAH= absinα


（3）S= absin∠C（∠C是a、b两边的夹角）
（4）

如图4中，作AH⊥CB于H．

在Rt△AHB中，∠AHB=90°

∴sinα= ，

∴AH=bsinα

∴S平行四边形ABCD=BCAH=absinα．


【解析】探究二：如图2中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解决问题；探究三：如图3中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解决问题；
问题解决：S= absin∠C（∠C是a、b两边的夹角）；问题应用：如图4中，作AH⊥CB于H．求出高AH，即可解决问题；
【考点精析】关于本题考查的三角形的“三线”和三角形的面积，需要了解1、三角形角平分线的三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心);2、三角形中线的三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心);3、三角形的高线是顶点到对边的距离；注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内；三角形的面积=1/2×底×高才能得出正确答案．

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