Question

【题目】如图，一次函数y=k1x+5（k1＜0）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y= （k2＞0）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1．

（1）求k2﹣k1的值；
（2）若 = ，求反比例函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵MC⊥y轴于点C，且CM=1，

∴M的横坐标为1，

当x=1时，y=k1+5，

∴M（1，k1+5），

∵M在反比例函数的图象上，

∴1×（k1+5）=k2，

∴k2﹣k1=5

（2）

解：如图1，过N作ND⊥y轴于D，

∴CM∥DN，

∴△ACM∽△ADN，

∴ ，

∵CM=1，

∴DN=4，

当x=4时，y=4k1+5，

∴N（4，4k1+5），

∴4（4k1+5）=k2①，

由（1）得：k2﹣k1=5，

∴k1=k2﹣5②，

把②代入①得：4（4k2﹣20+5）=k2，

k2=4；

∴反比例函数的解析式：y=

（3）

解：当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；

如图2，

CP=PQ，∠CPQ=90°，

过Q作QH⊥x轴于H，

易得：△COP≌△PHQ，

∴CO=PH，OP=QH，

由（2）知：反比例函数的解析式：y= ；

当x=1时，y=4，

∴M（1，4），

∴OC=PH=4，

设P（x，0），

∴Q（x+4，x），

当点Q落在反比例函数的图象上时，

x（x+4）=4，

x2+4x+4=8，

x=﹣2± ，

当x=﹣2+2 时，x+4=2+2 ，如图2，Q（2+2 ，﹣2+2 ）；

当x=﹣2﹣2 时，x+4=2﹣2 ，如图3，Q（2﹣2 ，﹣2﹣2 ）；

如图4，CP=PQ，∠CPQ=90°，设P（x，0），

过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，

易得：△CPG≌△PQH，

∴PG=QH=4，CG=PH=x，

∴Q（x﹣4，﹣x），

同理得：﹣x（x﹣4）=4，

解得：x1=x2=2，

∴Q（﹣2，﹣2），

综上所述，点Q的坐标为（2+2 ，﹣2+2 ）或（2﹣2 ，﹣2﹣2 ）或（﹣2，﹣2）．

【解析】（1）根据点M的坐标代入反比例关系：y= 中，可得结论；（2）根据△ACM∽△ADN，得 ，由CM=1得DN=4，同理得N的坐标，代入反比例函数式中可得k2的值；（3）如图2，点P在x轴的正半轴上时，绕P顺时针旋转到点Q，根据△COP≌△PHQ，得CO=PH，OP=QH，设P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函数的关系式中可得Q的两个坐标；
如图3，点P在x轴的负半轴上时；
如图4，点P在x轴的正半轴上时，绕P逆时针旋转到点Q，同理可得结论．
【考点精析】关于本题考查的反比例函数的性质，需要了解性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大才能得出正确答案．