Question

【题目】某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨l元，则每个月少卖l0件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量戈的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得： ， 且 为整数
（2）解：由（1）中的 与 的解析式配方得： ．
∵ ，
∴当 时， 有最大值2402.5．
∵ 且 为整数，
当 时， ， (元)；当 时， ， (元)，
∴当售价定为每件55或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元 。
（3）解：当 时， ，解得： ， ．
∴当 时， ；当 时， ．
∴当售价定为每件51或60元时，每个月的利润为2200元
【解析】（1）设每件商品的售价上x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元，则一个月的销量为(21010)件 ，单件的利润为( 50 + x 40 ) 元， 根据销售利润等于销售数量×单件利润，得出y与x的函数关系式；直接写出x的取值范围即可；
（2）将由（1）中的 y 与 x 的解析式配方得： y = 10 ( x 5.5 ) 2 + 2402.5 ．由于此函数的二次项系数 a = 10 < 0 ，从而得出当 x = 5.5 时， y 有最大值2402.5．又因0 < x ≤ 15 且 x 为整数，从而得出当 x = 5 时， 50 + x = 55 ， y = 2400 (元)；当 x = 6 时， 50 + x = 56 ， y = 2400 (元)；（3）把 y = 2200代入（1）得到的函数解析式，从而得出一个一元二次方程，求解得出x的值，然后得出结论。