Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到∠OAC=∠OCA，由∠DAC=∠BAC，等量代换得到一对内错角相等，得到AD与OC平行，由AD垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的切线；

（2）由∠ACD的度数求出∠OCA为60°，确定出三角形AOC为等边三角形，由半径为2求出AC的长，在直角三角形ACD中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，再利用勾股定理求出CD的长，由扇形AOC面积减去三角形AOC面积求出弓形的面积，再由三角形ACD面积减去弓形面积即可求出阴影部分面积．

（1）连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠DAC=∠BAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC，

∵AD⊥EF，

∴OC⊥EF，

则EF为圆O的切线；

（2）∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，

∴∠CAD=∠OCA=60°，

∴△AOC为等边三角形，

∴AC=OC=OA=2，

在Rt△ACD中，∠ACD=30°，

∴AD=AC=1，根据勾股定理得：CD=，

∴S阴影=S△ACD-（S扇形AOC-S△AOC）=×1×-（）=．