Question

【题目】如图1，已知直线PQ∥MN，点A、B分别在直线MN、PQ上，射线AM绕点A以5°/秒的速度按顺时针开始旋转，旋转至与AN（或AM）重合后便立即回转，射线BQ绕点B以2°/秒的速度按顺时针开始旋转，旋转至与BP重合后便停止转动，旋转后的射线分别记为AM'和BQ'．

（1）若射线BQ先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线AM第一次到达AN之前，射线AM转动几秒后AM'∥BQ'；

（2）若射线AM，BQ同时转动t秒，在射线BQ停止转动之前，记射线AM'与BQ'交于点H，若∠AHB＝90°，求t的值；

（3）射线AM，BQ同时转动，在射线AM第一次到达AN之前，记射线AM'与BQ'交于点K，过K作KC⊥AK交PQ于点C，如图2，若∠BAN＝30°，则在旋转过程中，∠BAK与∠BKC有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝10s时，BQ′∥AM′；（2）满足条件的t的值为30秒或90秒．（3）

【解析】

（1）当∠MAM′＝∠QBQ′时，BQ′∥AM′，延长构建方程即可解决问题；

（2）根据点Q的运动时间t＝90秒，分三种情形分别构建方程求解即可；

（3）如图3中，设∠KAB＝x，∠BKC＝y．设直线CK交MN于G．利用平行线的性质，构建方程组确定x与y之间的关系即可．

（1）由题意当5t＝30+2t时，BQ′∥AM′，

∴t＝10s时，BQ′∥AM′．

（2）∵点Q的运动时间t＝＝90（秒），

分三种情形：①射线AM第一次到达AN之前：如图1中，

当∠NAM′+∠QBQ′＝90°时，∠AHB＝90°，

则有2t+180°﹣5t＝90°，

解得t＝30（秒），

②射线AM返回途中：如图2中，

当∠MAM′+∠PBQ′＝90°时，∠AHB＝90°，

则有180°﹣2t+180°﹣（5t﹣180°）＝90°，

解得t＝（秒）（不合题意舍弃），

③射线AM第二次到达AN之前，如图2中，

当∠MAM′+∠PBQ′＝90°时，∠AHB＝90°，

则有180°﹣2t+（5t﹣360°）＝90°，

解得t＝90（秒），

综上所述，满足条件的t的值为30秒或90秒．

（3）如图3中，设∠KAB＝x，∠BKC＝y．设直线CK交MN于G．

∵AK⊥KC，

∴∠AKG＝90°，

∴∠KAG+∠AGK＝90°，

∵PQ∥MN，

∴∠AGK＝∠QCK，

∴180°﹣5t+2t+y＝90°，

∴t＝30°﹣y，

∵x＝30°﹣（180°﹣5t），

∴x＝5t﹣150°，

∴x＝5（30°﹣y）﹣150°，

∴x＝y，

∴∠KAB＝∠BKC．