Question

【题目】如图1，点为线段上任意一点（不与点重合），分别以为一腰在的同侧作等腰和，，，，连接交于点，连接交于点，与交于点，连接.

线段与的数量关系为 ；请直接写出 ；

将绕点旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段与的数量关系，并说明理由；求出此时的度数；

在的条件下求证：.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ，,理由见解析；（3）见解析

【解析】

（1）只要证明△ACE≌△DCB，即可解决问题；

（2）只要证明△ACE≌△DCB，即可解决问题；

（3）如图2-1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G，利用面积法证明CG=CH，再利用角平分线的判定定理证明∠DPC=∠EPC即可解决问题；

如图1中，

∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

∴∠ACE=∠DCB，

又∵CA=CD，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴AE=BD，∴CAE=∠CDB，

∵∠AMC=∠DMP，

∴∠APD=∠ACD=30°，

故答案为AE=BD，30°

如图2中，结论：，.

理由：∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

∴∠ACE=∠DCB，

又∵CA=CD，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴AE=BD，∴CAE=∠CDB，

∵∠AMP=∠DMC，

∴∠APD=∠ACD=30°．

证明：如图2-1中，分别过作于，过点作于，

∵△ACE≌△DCB．

∴AE=BD，

∵S△ACE=S△DCB（全等三角形的面积相等），

∴CH=CG，

∴∠DPC=∠EPC（角平分线的性质定理的逆定理），

∵∠APD=∠BPE，

∴∠APC=∠BPC．