Question

【题目】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．

（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB=6cm，BC= cm．
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是矩形．

∴OD=OB=OC=OA，

∵△EDC和△ODC关于CD对称，

∴DE=DO，CE=CO，

∴DE=EC=CO=OD，

∴四边形CODE是菱形．

（2）

解：①设AE交CD于K．

∵四边形CODE是菱形，

∴DE∥AC，DE=OC=OA，

∴ = =

∵AB=CD=6，

∴DK=2，CK=4，

在Rt△ADK中，AK= = =3，

∴sin∠DAE= = ，

②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE= AP，

∵点Q的运动时间t= + =OP+ AP=OP+PF，

∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，

∴OF= CD=3．AF= AD= ，PF= DK=1，

∴AP= = ，

∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为 ，点Q走完全程所需的时间为3s．

【解析】（1）只要证明四边相等即可证明；（2）①设AE交CD于K．由DE∥AC，DE=OC=OA，推出 = = ，由AB=CD=6，可得DK=2，CK=4，在Rt△ADK中，AK= = =3，根据sin∠DAE= 计算即可解决问题；②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE= AP，因为点Q的运动时间t= + =OP+ AP=OP+PF，所以当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，由此即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和矩形的性质的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．