Question

【题目】如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（其中b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标．
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围．
（3）沿直线AC方向平移该二次函数图象，使得CM与平移前的CB相等，求平移后点M的坐标．
（4）点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PQ，记点M关于直线PQ的对称点为M′．当以点P，A，M，M′为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得

解得 ，

∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，

配方得y=﹣（x﹣1）2+5，

∴点M的坐标为（1，5）

（2）解：设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得 ，

解得： ，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F

把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1），

点M向下平移m个单位后，坐标为（1，5﹣m），

由题意：1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；

∴2＜m＜4

（3）解：如图，

当y=1时，﹣x2+2x+4=1，解得x=﹣1或3，

∴B（﹣1，1），

∵C（0，4），

∴BC= = ，

∵MM′∥AC，CM′= ，M（1，5）．

∴M′的坐标为（3，3）或（﹣1，7）．

∴平移后点M的坐标（3，3）或（﹣1，7）

（4）解：如图，连接MC，MM′交PQ于F，则四边形CMFP是矩形，

当四边形 PAM′M是平行四边形时，PA=MM′=2MF=2PC，设P（m，﹣m+4），

则有 （3﹣m）=2 m，

∴m=1，

∴P（1，3），

当四边形 P′AMM′是平行四边形时，易知AP′=2CP′，

∴ （3﹣m）=2 （﹣m），

解得m=﹣3，

∴P（﹣3，7），

综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，3）或（﹣3，7）．

【解析】（1）将点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c，求出b、c的值即可，再用配方法求出顶点坐标。
（2）先求出直线AC的函数解析式，再根据已知AB∥x轴及点A的坐标，求出点E、F的坐标，点M向下平移m个单位后，坐标为（1，5﹣m），再见了不等式组，即可求出m的取值范围。
（3）当y=1时，﹣x2+2x+4=1，解方程求出方程的解，可得到点B的坐标，再Rt△BDC中，利用勾股定理可求出BC的长，由MM′∥AC及点M的坐标，就可求出平移后点M的坐标。
（4）连接MC，MM′交PQ于F，则四边形CMFP是矩形，当四边形 PAM′M是平行四边形时，PA=MM′=2MF=2PC，建立方程求出点P的坐标；当四边形 P′AMM′是平行四边形时，易知AP′=2CP′，建立方程求出点P的坐标。
【考点精析】关于本题考查的确定一次函数的表达式和勾股定理的概念，需要了解确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．