Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=5，AB边上的高CD=4，点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB，交边AC或边BC于点Q，以PQ为边向右侧作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．

（1）直接写出tanB的值为 ．
（2）求点M落在边BC上时t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）边BC将正方形PQMN的面积分为1：3两部分时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：当点M落在BC边上时，如图1，

由题意得：AP=3t，

tan∠CAB= ，

∴PQ=PN=MN=4t，BN=2t，

∴3t+4t+2t=5，

t=

（3）解：分三种情况：

①当0＜t≤ 时，如图1，正方形PQMN与△ABC重叠部分是正方形PQMN，

∴S=PQ2=（4t）2=16t2；

②当N与B重合时，如图2，

AP=3t，PQ=PB=4t，

∴3t+4t=5，

t= ，

当 ＜t＜ 时，如图3，正方形PQMN与△ABC重叠部分是五边形EQPNF，

③当 ≤t＜1时，如图4，正方形PQMN与△ABC重叠部分是梯形EQPB，

∴AP=3t，PN=4t，

∴BN=7t﹣5，PB=4t﹣（7t﹣5）=﹣3t+5，

在Rt△APQ中，AQ=5t，

∴QC=5﹣5t，

∵AC=AB，

∴∠ACB=∠ABC，

∵QE∥AB，

∴∠QEC=∠ABC，

∴∠QEC=∠ACB，

∴QE=QC=5﹣5t，

∴S=S梯形QPBE= （QE+PB）×PQ，

= （5﹣5t+5﹣3t）×4t=﹣16t2+20t；

综上所述，S与t之间的函数关系式为：

S=

（4）解：如图2，当t= 时，CQ=QG=5﹣5t= ，

∴GM=4t﹣ = ，

∴QG=GM，

∴S△QGB=S△GMB，

∴S梯形GQPB：S△GMB=3：1，

当P与D重合时，t=1，如图5，

则S△CDB：S四边形CBNM= ×2×4：（42﹣ ×2×4），

=1：3，

综上所述，t= s或1s时，边BC将正方形PQMN的面积分为1：3两部分

【解析】解：（1）∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

∵在Rt△ACD中，AD= =3，

∴BD=AB﹣AD=5﹣3=2，

∴在Rt△BCD中，tan∠B= = =2；

所以答案是2．

【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和正方形的性质，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形即可以解答此题．