Question

【题目】如图，在中，，，点在斜边上，连接，把沿直线翻折，使点落在同一平面内的点处．当与的直角边垂直时，的长为__________．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

分两种情况讨论，当A′D⊥AC时，易证A′D∥BC，A′C⊥AB，△BCH∽△BAC，求得CH和A′H的长，再证得△A′HD∽△CHB，，求得A′D=1，即AD=1；当A′D⊥BC时，则A′D∥AC，AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，推出∠A′DC=∠A′CD，则A′D=A′C，即可求得答案．

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
∴，

如图，当A′D⊥AC，

∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴∠A′=∠A，A′D=AD，A′C=AC，
∵BC⊥AC，
∴A′D∥BC，

∠A′=∠A′CB =∠A，

∵∠B=∠B，
∴△BCH∽△BAC，

∴，即，

∴，

∴，

∵A′D∥BC，
∴△A′HD∽△CHB，

∴，即，

解得：A′D=1，
∴AD=1；

如图，当A′D⊥BC时，则A′D∥AC，

∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，
∵A′D∥AC，

∴∠A′DC=∠ACD，
∴∠A′DC=∠A′CD，
∴A′D=A′C，
∴AD=AC=，

综上所述：AD的长为：1或，

故答案为：1或．