Question

【题目】如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B在函数y= （k＞0，x＞0）的图象上点P（m，n）是函数图象上任意一点，过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足分别为E，F．并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分的面积为S．
（1）求k的值；
（2）当S= 时，求P点的坐标；
（3）写出S关于m的关系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵正方形OABC的面积为9，∴OA=OC=3，∴B（3，3），

又∵点B（3，3）在函数y= 的图象上，∴k=9；

（2）解：分两种情况：①当点P在点B的左侧时，

∵P（m，n）在函数y= 上，

∴mn=9，

∴S=m（n﹣3）=mn﹣3m= ，解得m= ，

∴n=6，∴点P的坐标是P（ ，6）；

②当点P在点B的右侧时，

∵P（m，n）在函数y= 上，

∴mn=9，

∴S=n（m﹣3）=mn﹣3n= ，

解得n= ，∴m=6，

∴点P的坐标是P（6， ），

综上所述：P（6， ），（ ，6）．

（3）解：当0＜m＜3时，点P在点B的左边，此时S=9﹣3m，

当m≥3时，点P在点B的右边，此时S=9﹣3n=9﹣ ．

【解析】（1）根据正方形的面积求得B的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式；（2）分成P在B的左侧和右侧两种情况进行讨论．当P在B的左侧时，重合部分是以OC为边的矩形，根据面积公式求得P的横坐标，进而代入反比例函数解析式求得纵坐标；当P在B的右侧时，重合部分是以OA为一边的矩形，根据面积公式求得P的纵坐标，进而求得横坐标；（3）与（2）的解法相同，分成两种情况进行讨论．
【考点精析】通过灵活运用比例系数k的几何意义，掌握几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积即可以解答此题．