Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，直线EF分别交两直角边AB、BC与E、F两点，且EF∥AC，P是斜边AC的中点，连接PE，PF，且AB= ，BC= ．

（1）当E、F均为两直角边的中点时，求证：四边形EPFB是矩形，并求出此时EF的长；
（2）设EF的长度为x（x＞0），当∠EPF=∠A时，用含x的代数式表示EP的长；
（3）设△PEF的面积为S，则当EF为多少时，S有最大值，并求出该最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

∵E是AB的中点，P是AC的中点，

∴EP∥BC，且EP= BC，

∵F是BC的中点，

∴EP∥BF，且EP=BF，

四边形EPFB是平行四边形，

∵∠B=90°，

∴四边形EPFB是矩形

（2）

解：∵AB= ，BC= ．

∴BE= ，BF= ，

∴EF= =1．（2）∵EF∥AC，

∴∠APE=∠PEF，∵∠EPF=∠A，

∴△APE∽△PEF．

∴ ，

∵AP=1，EF=x，

∴EP2=x，

∴EP=

（3）

解：如图2，作FH⊥AC交AC于点H，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

设EF=x，则BF= x，CF= ﹣ x，

∴FH= CF= ﹣ x，

∴S= EFFH=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣1）2+ ，

∴当x=1，即EF=1时，S有最大值为 ．

【解析】（1）先求出四边形EPFB是平行四边形，再由∠B=90°得出四边形EPFB是矩形，利用勾股定理求出EF．（2）证明△APE∽△PEF，得出对应边成比例，即可得出结果．（3）作FH⊥AC交AC于点H，设EF=x，得出BF，CF及FH的值，再利用三角形面积求出EF及最大值，利用中位线定理即可求出EP的值．