Question

【题目】如图，在菱形 ABCD 中，B 60 ，M 、N 分别为线段 AB 、BC 上的两点，且 BM CN ， AN 、CM 相交于点 E 。

（1）证明： BCM ≌ CAN 。

（2）求AEM 的度数。

（3）证明： AE CE DE 。

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)60°; (3)见解析.

【解析】

（1）由题意可得△ABC,△ADC都是等边三角形,根据SAS即可证明△BCM≌△CAN．

（2）由△BCM≌△CAN,推出∠BCM=∠CAN,推出∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°,作DG⊥AN于G,DH⊥MC交MC的延长线于H,由△DGA≌△DHC,推出DG=DH,由DG⊥AN,DH⊥MC,推出∠DEG=∠DEH,即可得到∠AED的度数．

（3）由（2）可知,∠GED=60°,在Rt△DEG中,由∠EDG =30°,推出DE=2EG,易证△DEG≌△DEH,推出EG=EH,推出EA+EC=EG+AG+EH-CH,由△DGA≌△DHC,推出GA=CH,推出EA+EC=2EG=DE．

解：（1）∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC=CD=AD,

∵∠B=60°,

∴△ACD,△ABC是等边三角形,

∴BC=AC,∠B=∠ACN=60°,

在△BCM和△CAN中,

,

∴△BCM≌△CAN（SAS）．

（2）∵△BCM≌△CAN,

∴∠BCM=∠CAN,

∴∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°,

如图,作DG⊥AN于G,DH⊥MC,交MC的延长线于H,

∵∠AEM=60°,

∴∠AEC=120°,

∵∠DGE=∠H=90°,

∴∠GEH+∠GDH=180°,

∴∠GDH=∠ADC=60°,

∴∠ADG=∠CDH,

在△DGA和△DHC中,

,

∴△DGA≌△DHC（AAS）,

∴DG=DH,

∵DG⊥AN,DH⊥MC,

∴∠DEG=∠DEH,

∴DE平分∠AEC,即∠AED=60°．

（3）证明：由（2）可知,∠GED=60°,

在Rt△DEG中,∵∠EDG=30°,

∴DE=2EG,

在△DEG和△DEH中,

,

∴△DEG≌△DEH（AAS）,

∴EG=EH,

∵△DGA≌△DHC,

∴GA=CH,

∴EA+EC=EG+AG+EH-CH=2EG=DE.即EA+EC=ED．