Question

【题目】将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（ ，0），点B（0，3），点O（0，0）

（1）过边OB上的动点D（点D不与点B，O重合）作DE丄OB交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．
①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；
②连接AF，当△AEF为直角三角形时，求E点坐标；
（2）P是AB边上的动点（点P不与点B重合），将△AOP沿OP所在的直线折叠，得到△A′OP，连接BA′，当BA′取得最小值时，求P点坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵DE⊥OB，OA⊥OB，

∴DE∥OA．

∵D为OB中点，

∴DE为△BOA的中位线，

∴点E为线段A、B的中点，

∴点E的坐标为（ ， ）．

②由折叠可知：△BDE≌△FDE，

∴∠EFB=∠ABO=30°，DF=BD，

∴∠AEF=∠ABO+∠BFE=60°≠90°．

∵△AEF是直角三角形，

∴∠AFE=90°或∠EAF=90°．

（i）当∠AFE=90°时，如图1所示．

∠AFO=180°﹣∠AFE﹣∠EFB=60°．

在Rt△AOF中，∠AFO=60°，AO= ，

∴∠FAO=30°，AF=2OF，

∵ =AO，

∴OF=1，AF=2．

在Rt△DEF中，∠DFE=30°，DF=BD= =1，

∴EF=2DE，

∵ =DF=1，

∴DE= ，DF= ．

∵OD=OF+DF=2．

∴点E的坐标为（ ，2）；

（ii）当∠EAF=90°时，如图2所示．

∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，

∴∠BAO=60°，

∴∠FAO=∠EAF﹣∠BAO=30°．

在Rt△AOF中，∠FAO=30°，AO= ，

∴AF=2OF，

∵ =AO，

∴OF=1，AF=2．

在Rt△DEF中，∠DFE=30°，DF= =2，

∴EF=2DE，

∵ =DF，

∴DE= ．

∵OD=DF﹣OF=1，

∴点E的坐标为（ ，1）．

综上所述：当△AEF为直角三角形时，E点坐标为（ ，2）或（ ，1）

（2）解：由折叠可知：△AOP≌△A′OP，

∴OA′=OA= ，∠AOP=∠A′OP，

又∵OB=3，

∴当点A′在y轴上时，BA′取最小值，如图3所示．

∵∠AOB=90°，

∴∠AOP=45°，

∴直线OP的解析式为y=x．

设直线AB的解析式为y=kx+b，

将A（ ，0）、B（0，3）代入y=kx+b中，

，解得： ，

∴直线AB的解析式为y=﹣ x+3．

联立直线OP、AB的解析式成方程组，

，解得： ，

∴当BA′取得最小值时，P点坐标为（ ， ）．

【解析】（1）①由D为OB中点结合DE∥OA，可得出DE为△BOA的中位线，再根据点A、B的坐标即可得出点E的坐标；②根据折叠的性质结合角的计算可得出∠AEF=60°≠90°，分∠AFE=90°和∠EAF=90°两种情况考虑，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出点E的坐标；（2）根据三角形的三边关系，找出当点A′在y轴上时，BA′取最小值，根据折叠的性质可得出直线OP的解析式，再根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立两直线解析式成方程组，解之即可得出点P的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解翻折变换（折叠问题）的相关知识，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等，以及对相似三角形的应用的理解，了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．