Question

【题目】在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM= AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点．

（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为 ．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，
①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；
③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）1,解：②在菱形ABCD中,AC平分∠DAB,∵∠DAB=60°,∴∠DAC=∠CAB=30°,∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN,∴AC⊥MN,AM=A′M,AN=A′N,；∴∠AMN=∠ANM=60°,∴AM=AN,∴AM=A′M=AN=A′N,∴四边形AM A′N是菱形；,③在菱形ABCD中,AB=AD,∴∠ADB=∠ABD=60°,∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB,∴A′M=AM=2,∠NA′M=∠A=60°,∴∠NA′B=∠DMA′,∴△DMA′∽△BA′N,∴ = ,∵MD= AD=1,A′M=2,∴ =
【解析】解：（1）如图1，

过点N作NG⊥AB于G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，OD=OB，

∴ = =1，

∴BN=DM= AD=1，

∵∠DAB=60°，

∴∠NBG=60°

∴BG= ，GN= ，

∴AN= = = ；

故答案为： ；

（ 2 ）①当点A′落在AB边上，则MN为AA′的中垂线，

∵∠DAB=60°AM=2，

∴AN= AM=1，

故答案为：1；

（1）过点N作NG⊥AB于G，构造直角三角形，根据菱形的性质得出AD∥BC，OD=OB，∠NBG=60° ,根据平行线分线段成比例定理得出DM∶BN＝OD∶OB＝1，从而得出BN=DM=1 ，利用含30°的直角三角形的边的关系得出BG、GN的长，利用勾股定理解决问题；
（2）①利用线段中垂线的性质得到MN⊥AA',利用含30°的直角三角形的边的关系得出AN的长；
②利用菱形的性质得到对角线平分每一组对角，得到∠DAC=∠CAB=30°，根据翻折的性质得到AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，∠AMN=∠ANM=60°，AM=AN，AM=A′M=AN=A′N，四边形AM A′N是菱形
③根据菱形的性质得到AB=AD，∠ADB=∠ABD=60°，求得∠NA′M=∠DMA′+∠ADB，证得A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，得到∠NA′B=∠DMA′，从而判断出△DMA′∽△BA′N，利用相似三角形对应边成比例得到结果．