Question

【题目】如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．

（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠CBO=45°，
∴∠BCO=45°，
∴OC=OB，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3），

（2）解：分两种情况讨论：
①点P在B点右侧时，如图2：
∵∠BCP=15°,∠BCO=45°，
∴∠OCP=45°-15°=30°，
在Rt△PCO中，设PO=x,则PC=2x，
∴PO2+OC2=PC2，
∴x2+32=（2x）2，
∴x=PO=，
又∵Q（4，0），
∴PQ=4+，
即t=4+.

②点P在B点右侧时，如图3：
∵∠BCP=15°,∠BCO=45°，
∴∠OCP=45°+15°=60°，
∴∠CPO=30°，
在Rt△PCO中，
由（1）知OC=3，
∴PC=6，
∴PO2+OC2=PC2，
∴PO2+32=62，
∴PO=3，
又∵Q（4，0），
∴PQ=4+3，
即t=4+3.

综上：t的值为：4+ 或4+3

（3）解： 依题可知：当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与CB相切C点时（如图）：
∴∠BCP=90°，
由（1）知∠BCO=45°，
∴∠OCP=45°，
∴Rt△PCO为等腰直角三角形，
∴CO=PO=3，
又∵Q（4，0），
∴PQ=1，
即t=1.

②当⊙P与CD相切于点C时（如图）：
∴∠DCP=90°，
即点O与点P重合，
∴PQ=4，
即t=4.

③当⊙P与AD相切于点A时（如图4）：
∵Q（4，0），A（-5，0），
∴AQ=4-（-5）=9，
∴AP=PC=（9-t），PO=（t-4）,
在Rt△PCO中，
∴PO2+CO2=PC2，
∴（t-4）2+32=（9-t）2，
∴t=5.6.

综上：t=1或4或5.6.

【解析】（1）由直角坐标系和三角形内角和定理得出∠CBO=∠BCO=45°，再根据等腰三角形性质得出OC=OB，从而得出C点坐标.
（2）分两种情况讨论：①点P在B点右侧时，如图2：由∠BCP=15°,∠BCO=45°得出∠OCP=30°，在Rt△PCO中，设PO=x,则PC=2x，
由勾股定理得出PO，从而求出t=4+.
②点P在B点右侧时，如图3：由∠BCP=15°,∠BCO=45°得出∠OCP=60°，在Rt△PCO中，由直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出PC=6，由勾股定理得出PO，从而求出t=4+3.
（3） 依题可知：当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与CB相切C点时（如上图）：根据切线性质得出∠BCP=90°，再由等腰直角三角形的性质得出CO=PO=3，从而求出t=1.
②当⊙P与CD相切于点C时（如上图）：根据切线性质得出∠DCP=90°，即点O与点P重合，从而求出t=4.
③当⊙P与AD相切于点A时（如图4）：由已知条件知AP=PC=（9-t），PO=（t-4）,在Rt△PCO中由勾股定理求出t=5.6.