Question

【题目】根据所学知识完成小题：
（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等边△ABE和等边△ACD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．

（2）【深入探究】如图2，△ABC中，∠ABC=45°，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、AC为边向外作正方形ABNE和正方形ACMD，连接BD，求BD的长．

（3）如图3，在（2）的条件下，以AC为直角边在线段AC的左侧作等腰直角△ACD，求BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：BD=CE，理由如下：
∵△ABE和△ACD均是等边三角形，
∴AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAD=60°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
即∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD，
∴CE=BD，
（2）解：连接BE，CE，如图：
∵四边形ABNE和四边形ACMD均是正方形，
∴AE=AB，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
即∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD，
∴CE=BD，
又∵四边形ABNE正方形，AB=5cm
∴∠ABE=45°，BE=5，
∵∠ABC=45°，
∴∠CBE=∠ABE+∠ABC=90°，
又∵BC=3cm，
∴CE==，
∴BD=.

（3）解：作AE⊥AB，交BC延长线于点E，如图：
∴∠BAE=90°，
∵∠ABC=45°，
∴AB=AE，
又∵△ACD为等腰直角三角形
∴AD=AC，∠DAC=90°，
∴∠CAE+∠BAC=∠DAB+∠BAC，
即∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD，
∴CE=BD，
在Rt△CAB中，
∵AB=AE=5cm，BC=3cm，
∴BE=5cm，
∴CE=BE-BC=5-3（cm），
∴BD=5-3（cm）.

【解析】（1）BD=CE，理由如下：
由等边三角形的性质得出AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAD=60°，再由等量代换得出∠CAE=∠BAD，根据SAS得出△CAE≌△BAD，再由全等三角形的对应边相等得出CE=BD.
（2）连接BE，CE，如图：由正方形的性质得出AE=AB，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，再由等量代换得出∠CAE=∠BAD，根据SAS得出△CAE≌△BAD，再由全等三角形的对应边相等得出CE=BD；再由正方形性质得出，BE=5，结合已知条件得出∠CBE=90°，根据勾股定理得出CE=，即BD的长.
（3）作AE⊥AB，交BC延长线于点E，如图：由垂直和等腰三角形的性质得出AB=AE，AD=AC，再由等量代换得出∠CAE=∠BAD，根据SAS得出△CAE≌△BAD，再由全等三角形的对应边相等得出CE=BD；在Rt△CAB中，由勾股定理得出BE值，从而求出BD长.
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°)，还要掌握等边三角形的性质(等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°)的相关知识才是答题的关键．