Question

【题目】如图，将函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象沿y轴翻折得到一个新的图象，前后两个图象其实就是函数y=x2﹣2|x|的图象．

（1）观察思考

函数图象与x轴有　 　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有　 　个实数根；方程x2﹣2|x|=2有　 　个实数根；关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是　 　；

（2）拓展探究

①如图2，将直线y=x+1向下平移b个单位，与y=x2﹣2|x|的图象有三个交点，求b的值；

②如图3，将直线y=kx（k＞0）绕着原点旋转，与y=x2﹣2|x|的图象交于A、B两点（A左B右），直线x=1上有一点P，在直线y=kx（k＞0）旋转的过程中，是否存在某一时刻，△PAB是一个以AB为斜边的等腰直角三角形（点P、A、B按顺时针方向排列）．若存在，请求出k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3，3，2，﹣1＜a＜0；（2）①1或；②k=．

【解析】试题分析：（1）|x|图象关于x轴对称.(2) 当直线y=x+1﹣b经过原点或与抛物线y=x2+2x只有一个交点时，与y=x2﹣2|x|的图象有三个交点,联立方程组可得b的值(3). 作BE⊥直线x=1于E，AF⊥直线x=1于F,证明△PAF≌△BPE，联立二次函数和一次函数解方程求k的值.

试题解析：

解：（1）函数y=x2﹣2|x|的图象与x轴交于点（﹣2，0），（0，0），（2，0），有3个交点，∴方程x2﹣2|x|=0有3实数根,

观察图象可知方程x2﹣2|x|=2有2实数根,

关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是﹣1＜a＜0．

故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．

（2）①设平移后的直线的解析式为y=x+1﹣b，观察图象可知，当直线y=x+1﹣b经过原点或与抛物线y=x2+2x只有一个交点时，与y=x2﹣2|x|的图象有三个交点，∴1﹣b=0，b=1，由消去y得到x2+x﹣1+b=0，由题意△=0，∴1﹣4（﹣1+b）=0，∴b= ，综上所述，满足条件的b的值为1或．

（3）如图3中，作BE⊥直线x=1于E，AF⊥直线x=1于F．

∵∠AFP=∠PEB=∠APB=90°，∴∠APF+∠PAF=90°，∠APF+∠BPE=90°，

∴∠PAF=∠BPE，∵PA=PB，∴△PAF≌△BPE，∴AF=PE，PF=BE，

由,解得 或，

∴A[k﹣2，k（k﹣2）]，由，解得 或，

∴B[k+2，k（k+2）]，∴BE=PF=k+1，AF=PE=3﹣k，∴P（1，k2﹣3k﹣1），∴k2+2k﹣（k2﹣3k﹣1）=3﹣k，∴k=．