Question

【题目】如图，P为边长为6的正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合)，Q在CD上，且CQ=BP，连接AP、BQ，将△BQC沿BQ所在的直线翻折得到△BQE，延长QE交BA的延长线于点F.

(1)试探究AP与BQ的数量与位置关系，并证明你的结论；

(2)当E是FQ的中点时，求BP的长。

Answer 1

【答案】(1)见解析：（2）2.

【解析】

(1)证明△ABP≌△BCQ，则∠PAB=∠CBQ，从而证明∠PAB+∠ABQ=90°，进而得证；

(2)由折叠的性质可得∠BQE=∠C=90°，∠QBE=∠QBC，再根据EQ=EF，可得BE垂直平分FQ，从而有BF=BQ，进而可得∠FBE=∠EBQ，再根据∠FBE+∠EBQ+∠QBC=∠ABC=90°，求出∠QBC=30°，可得BQ=2CQ，在Rt△BCQ中，利用勾股定理求出CQ长即可求得答案.

(1)AP=BQ，AP⊥BQ，证明如下：

∵ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，

又∵BP=CQ，

∴△ABP≌△BCQ(SAS)，

∴AP=BQ，∠PAB=∠CBQ，

∵∠CBQ+∠ABQ=∠ABC=90°，

∴∠PAB+∠ABQ=90°，

∴∠AMB=90°，

∴AP⊥BQ；

(2)∵将△BQC沿BQ所在的直线翻折得到△BQE，

∴∠BQE=∠C=90°，∠QBE=∠QBC，

又∵EQ=EF，

∴BE垂直平分FQ，

∴BF=BQ，

∴∠FBE=∠EBQ，

∵∠FBE+∠EBQ+∠QBC=∠ABC=90°，

∴∠QBC=30°，

∴BQ=2CQ，

在Rt△BCQ中，BQ2=BC2+CQ2，即(2CQ)2=62+CQ2，

∴CQ=2，

∵BP=CQ，

∴BP=2 .