Question

【题目】已知函数f（x）=（x2﹣2x）1nx+ax2+2，g（x）=f（x）﹣x﹣2． （Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＞0且函数g（x）有且仅有一个零点，求实数a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若e﹣2＜x＜e时，g（x）≤m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）1nx﹣x2+2定义域（0，+∞）， f'（x）=（2x﹣2）1nx+（x﹣2）﹣2x，
∴f'（1）=﹣3，又f（1）=1，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）1nx+ax2+2=x+2
即
令 ，
则 = ，
令t（x）=1﹣x﹣21nx，则 ，
∵x∈（0，+∞），∴t'（x）＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，
又∵t（1）=h'（1）=0，
∴当0＜x＜1时，h'（x）＞0，当x＞1时，h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）max=h（1）=1＞0，
又∵ ， ，a＞0
∴当函数g（x）有且仅有一个零点时，a=1
（Ⅲ）当a=1，g（x）=（x2﹣2x）1nx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，
只需证明g（x）max≤m，g'（x）=（x﹣1）（3+21nx）
令g'（x）=0得x=1或 ，又∵e﹣2＜x＜e，
∴函数g（x）在 上单调递增，
在 上单调递减，在（1，e）上单调递增，
即 是g（x）的极大值点，
又 ，g（e）=2e2﹣3e
∵ ，
∴ ，∴m≥2e2﹣3e，
∴实数m的取值范围是（2e2﹣3e，+∞）．
【解析】（Ⅰ）当a=﹣1时，f'（x）=（2x﹣2）1nx+（x﹣2）﹣2x，由此利用导数的几何意义能求出f（x）在（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则 令 ，则h′（x）= ，令t（x）=1﹣x﹣21nx，则 ，由此利用导数性质能求出当函数g（x）有且仅有一个零点时a的值．（Ⅲ）当a=1，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，由g'（x）=（x﹣1）（3+21nx），求出 是g（x）的极大值点，由此能求出实数m的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．