Question

【题目】已知如图抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）

（1）请直接写出抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△ACP的周长最短，若存在，请直接写出点P的坐标．
（3）点G的坐标是（2，﹣3），点F是x轴上一点，抛物线上是否存在点R，使得以A，G，F，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标．
（4）在B、C连线的下方抛物线上是否存在一点Q，使得△QBC的面积是△ABC的面积的一半？若存在，求出点Q的坐标．
（5）抛物线的顶点设为D，对称轴与y轴的交点为E，M（m，0）是x轴上一动点，点N是线段DE上的一点，若∠MNC=90°，请直接写出实数m的变化范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），

∴y=a（x+1）（x﹣3），

把点C（0，﹣3）代入y=a（x+1）（x﹣3）得，a=1，

∴抛物线的解析式为；y=x2﹣2x﹣3

（2）解：存在，如图1

，

连接BC交对称轴于P，

则PA+PC=BC最短，

即△ACP的周长最短，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

∴ ，解得： ，

∴直线BC的解析式为：y=x﹣3，

∵抛物线的对称轴是直线x=1，

把x=1代入y=x﹣3，

得y=﹣2，

∴P（1，﹣2）

（3）解：存在点R，使得以A，G，F，R为顶点的四边形是平行四边形，

①平行四边形ARGF时，RG∥AF，yR=yG=﹣3，

当y=﹣3时，x2﹣2x﹣3=﹣3，解得x1=0，x2=2（舍）

点R1（0，﹣3）；

②平行四边形AGFR时，yR+yG=0，即yR=3，当y=3时，x2﹣2x﹣3=3，解得x1=1﹣ ，x2=1+ ，

R2（1﹣ ，3 ），R3（1+ ，3），

综上所述：存在，点R的坐标（0，﹣3），（1﹣ ，3 ），（1+ ，3）

（4）解：如图2

，

连BC，直线BC解析式为y=x﹣3，△ABC面积可求得6．

△ABC与△QBC同底，

则底BC上的高应为 ，

过点C，作CQ⊥BC，则CQ= ，再过Q作QH⊥y轴与H，

由Rt△CHQ∽△COB，得Q（1，﹣4），过Q作直线QL∥BC，

直线QL解析式可求得y=x﹣5，

联立方程组，得 ，

解得 ， ，

所以在BC连线下方的抛物线上存在这点Q1（1，﹣4）Q2（2，﹣3）使得△QBC是△ABC面积的一半

（5）解：如图3

，

①作∠MNC=90°，过点C做CF⊥DE，则△CFN∽△NEM，得

．

设NE=n，M（m，0），D（1，﹣4），C（0，﹣3），

则CF=1，NE=n，FN=3﹣n，ME=1﹣m，

代入比例式，得

一元二次方程n2﹣3n+（1﹣m）=0 关于n的一元二次方程有解，

则m≥﹣ ；

②当点N移动到点D时，△CNF是等腰直角三角形，与△ENM仍然相似，

所以EM=EN=4，

所以此时m=5，

综上可知 m的范围是﹣ ≤m≤5

【解析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）根据轴对称的性质，可得A、B关于对称轴对称，根据线段的性质可得答案；（3）根据平行四边形的性质可得答案；（4）根据面积可得CQ的长度，根据平行线的性质，可得QL，根据解方程组可得答案；（5）根据相似三角形的性质，可得关于n的方程，根据方程跟的判别式可得答案，再根据相似三角形的性质可得答案。
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的性质的相关知识，掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，以及对平行四边形的性质的理解，了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．