Question

【题目】如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．

（1）求∠AFE的度数；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OD，OC，

∵C、D是半圆O上的三等分点，

∴ = = ，

∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，

∴∠CAB=30°，

∵DE⊥AB，

∴∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°﹣30°=60°；

（2）解：由（1）知，∠AOD=60°，

∵OA=OD，AB=4，

∴△AOD是等边三角形，OA=2，

∵DE⊥AO，

∴DE= ，

∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD= ﹣ × = π﹣ ．

【解析】根据题意连接OD，OC，求得∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，再根据圆周角定理和直角三角形的性质即可求∠AFE的度数；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，求的△AOD是等边三角形，再由DE⊥AO，得到DE的值，再根据扇形和三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．

【考点精析】利用圆周角定理和扇形面积计算公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．