Question

【题目】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于点F,连接BF

（1）若AP： BP=1：2，则AE的长为 ．

（2）求证：四边形BFEP为菱形；

（3）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P，Q分别在边AB、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

Answer 1

【答案】(1) cm，(2)证明见解析；(3)2cm；

【解析】

(1) 先根据AB=3cm，AP： BP=1：2，计算出AP、BP的长度，再根据勾股定理即可求得AE的长度；

(2)根据折叠的性质得到点B与点E关于PQ对称，进而得到PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，根据平行的性质再证明BP=BF=EF=EP即可得到答案；

(3) 找到E点离A最近和最远的两种情况，运用矩形的性质以及勾股定理即可求出点E在边AD上移动的最大距离；

解：(1)∵AB=3cm，

若AP： BP=1：2，则AP= ，BP=，

根据折叠的性质得到：PE=PB=2cm，

又∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴ ,

即：，

∴，即：，

故AE的长为：cm；

(2)∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称．
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF．
又∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠EFP（两直线平行，内错角相等），
∴∠EPF=∠EFP（等量替换），
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP（四边相等的四边形是菱形），
∴四边形BFEP为菱形；

(3)当点Q与点C重合时，如图2所示，此时点E离点A最近，

∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°．
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE=BC=5cm，

在Rt△CDE中，

∴AE=AD-DE=5-4=1cm，此时AE=1cm；
当P点与A点重合时，如图3所示，点E离点A最远．

此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm．
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．