Question

【题目】已知点A，B在反比例函数(x>0)的图象上，它们的横坐标分别为m，n，且m≠n，过点A，点B都向x轴，y轴作垂线段，其中两条垂线段的交点为C．

（1）如图，当m=2，n=6时，直接写出点C的坐标：

（2）若A(m，n)，B(n，m)．连接OA、OB、AB，求△AOB的面积：(用含m的代数式表示)

（3）设AD⊥y轴于点D，BE⊥x轴于点E．若，且，则当点C在直线DE上时，求p的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）点C坐标为（2，1）；（2）S△AOB=（0＜m＜）；（3）≤p≤．

【解析】

（1）把n=6代入反比例函数解析式可求出点B坐标，即可得答案；

（2）如图，由反比例函数k的几何意义可得S△AOG=S△BOF，进而可得S△AOB=S四边形AGFB，利用梯形面积公式即可得答案；

（3）如图，由A、B坐标可用m、n表示出点C、E、D坐标，利用待定系数法可得出DE解析式，把C点坐标代入可得m与n的关系，代入可用n表示出p，根据n的取值范围，利用不等式的性质即可得答案．

（1）∵n=6，点B在(x>0)的图象上，它的横坐标分别为n，

∴y==1，

∴B（6，1），

∵m=2，两条垂线段的交点为C，

∴点C坐标为（2，1）．

（2）如图，

∵点A，B在反比例函数(x>0)的图象上，

∴S△AOG=S△BOF=×6=3，

∴S△AOB=S△AOG+S四边形AGFB-S△BOF=S四边形AGFB，

∵A(m，n)，B(n，m)，

∴AG=n，OG=m，OF=n，BF=m，n=，

∵点B在点A右侧，m≠n，m＞0，n＞0，

∴0＜m＜，

∴S△AOB=(m+n)(n-m)=(n2-m2)=（0＜m＜）．

（3）如图，

∵点A、B在(x>0)的图象上，它们的横坐标分别为m、n，

∴A（m，），B（n，）（m＞0，n＞0），

∴C（m，），E（n，0），D（0，），

设直线DE的解析式为y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直线DE的解析式为y=，

∵点C在直线DE上，

∴，

整理得：m=n，

∴=1-，

∵，

∴2≤2n≤8，

∴≤≤，

∴≤1-≤，

∴p的取值范围为≤p≤．