Question

【题目】如图，在菱形中，，点将对角线三等分，且，连接.

（1）求证：四边形为菱形

（2）求菱形的面积；

（3）若是菱形的边上的点，则满足的点的个数是______个.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）8

【解析】

（1）根据题意证明△AED≌△AEB≌△CFD≌△CFB，得到四边相等即可证明是菱形；

（2）求出菱形的对角线的长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半解决问题即可．

（3）不妨假设点P在线段AD上，作点E关于AD的对称点E′，连接FE′交AD于点P，此时PE＋PF的值最小．求出PE＋PF的最值，判断出在线段AD上存在两个点P满足条件，由此即可判断．

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD≡AB=CD=CB，∠DAE=∠BAE=∠DCF=∠BCF，

∴△AED≌△AEB≌△CFD≌△CFB（SAS）

∴DE=BE=DF=BF,

∴四边形DEBF为菱形.

（2）连接DB，交AC于O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DB⊥AC，，

又∵AE=EF=FC=2，

∴AO=3，AD=2DO，

∴，∴，

∴

（3）不妨假设点P在线段AD上，作点E关于AD的对称点E′，连接FE′交AD于点P，此时PE＋PF的值最小．

易知PE＋PF的最小值＝2

当点P由A运动到D时，PE＋PF的值由最大值6减小到2再增加到4，

∵PE＋PE＝，2＜＜4，

∴线段AD上存在两个点P，满足PE＋PF＝

∴根据对称性可知：菱形ABCD的边上的存在8个点P满足条件．

故答案为8．