Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，点P从A出发，沿射线AB运动，连接PD，过点D作DE⊥PD，交直线BC于点E．

（1）探究发现：
当点P在线段AB上时（如图1），BP+CE=BD；
（2）数学思考：
当点P在线段AB的延长线上时（如图2），猜想线段BP、CE，BD之间满足的关系式，并加以证明；
（3）拓展应用：
若直线PE分别交线段BD、CD于点M、N，PM= ，EN= ，直接写出PD的长．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：CE﹣BP= BD；

理由：∵△PAD≌△ECD，

∴CE=AP，

∴CE﹣BP=AP﹣BP=AB= BD；

（3）解：①当P在线段AB上时，

如图1所示，在BC上取一点G使得BG=BP，连接MG、NG，

∵△APD≌△CED，

∵AP=CE，PD=ED，

∴△PED是等腰直角三角形，

∴AB=BC=AP+BP=BG+CG，

∴CG=CE，

∴可证△NCG≌△NCE，

∴NG=NE，∠NGC=∠NEC，

∵∠PBM=∠GBM=45°，BP=BG，BM=BM，

∴△BPM≌△BGM

∴PM=GM，∠MGB=∠MPB，

又∠NEC+∠MPB=90°，

∴∠NGC+∠MGB=90°，

∴∠MGN=90°，

∴MN= =2 ，

∴PE=PM+MN+EN= +2 + =3 + ，

∴PD= PE=3+ ；

②当P在AB延长线上时，

如图2所示，延长CB至G，使得CG=CE，连接MG、NG，

∵AP=CE，

∴CE﹣BC=CG﹣BC=AP﹣AB=BP=BG，

同①可证△△BMG≌△BMP，△CNG≌△CNE，

∴PM=GM，GN=EN，∠BGM=∠BPM=90°+∠CEN=90°+CGN，

∴∠CGN=∠BGM﹣90°=∠BGM﹣∠MGN，

∴∠MGN=90°，

∴MN= =2 ，

∴PN=MN﹣PM=2 ﹣ = ，

∴PE=PN+EN= + ，

∴PD= PE=1+ ，

∴PD的长为3+ 或1+ ．

【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCE=90°，AD=CD，

∵DE⊥PD，

∴∠ADC=∠PDE=90°，

∴∠ADP=90°﹣∠PDC=∠CDE，

在△PAD与△ECD中， ，

∴△PAD≌△ECD

∴AP=CE，

∴BP+CE=BP+AP=AB= BD；

所以答案是： ；

【考点精析】根据题目的已知条件，利用正方形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．