Question

【题目】如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE，⑤CF=BD．正确的有（　　）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据BC=2AB，H为BC中点，可得△ABH为等腰直角三角形，HE=BH=HC，可得△CEH为等腰三角形，又∠BCD=90°，CE⊥BD，利用互余关系得出角的相等关系，根据基本图形判断全等三角形，特殊三角形进行判断．

解：①在△BCE中，∵CE⊥BD，H为BC中点，

∴BC=2EH，又BC=2AB，

∴EH=AB，①正确；

②由①可知，BH=HE∴∠EBH=∠BEH，

又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°，

∴∠ABG=∠HEC，②正确；

③由AB=BH，∠ABH=90°，得∠BAG=45°，

同理：∠DHC=45°，∴∠EHC＞∠DHC=45°，

∴△ABG≌△HEC，③错误；

④作AM⊥BD，则AM=CE，△AMD≌△CEB，

∵AD∥BC，

∴△ADG∽△HGB，

∴=2，

即△ABG的面积等于△BGH的面积的2倍，

根据已知不能推出△AMG的面积等于△ABG的面积的一半，

即S△GAD≠S四边形GHCE，

∴④错误

⑤∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，

又∠ECH=∠CDE=∠BAO，∠BAO=∠BAH+∠HAC，

∴∠F=∠HAC，

∴CF=BD，⑤正确．

正确的有3个．

故选C．