Question

【题目】如图，△ABC为等腰三角形，AC=BC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若DF=3，EF=1，求弦EC的长．

Answer 1

【答案】（1）DF与⊙O相切；（2）8.

【解析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODF=∠AFD=90°，从而证得OD是圆的切线；

(2) （2）过O作OG⊥EC交EC于点G,先证明四边形ODFG是矩形，可得：OG=3，连接OE，设半径为r，则OD=FG=OE=r, EG=r-1,由OG⊥EC可得：，即，解得r=5,从而求得EC=8.

（1）DF与⊙O相切．

连接OD．

∵AC=BC，OB=OD，

∴∠B=∠A，∠B=∠1．

∴∠A=∠1．

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴∠AFD=90°．

∴∠ODF=∠AFD=90°．

又∵OD是⊙O的半径，

∴DF与⊙O相切．

（2）过O作OG⊥EC交EC于点G．

∵∠ODF=∠AFD=90°，

∴四边形OGFD是矩形．

∴DF=OG，OD=FG

∵DF=3，

∴OG=3

连接OE，

设半径为r，则OD=FG=OE=r

∵EF=1

∴EG=r-1

∵OG⊥EC,

∴

∴

∴r=5

∴EG=4

∵OG⊥EC,

∴EG=CG

∴EC=8.