Question

【题目】某八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究.

（1）如图1，△ABC的两内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点E，求证：∠BEC=90°+∠A；

（2）如图2，△ABC的内角∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACM的平分线交于点E，请写出∠E与∠A的数量关系，并证明.

（3）如图3，△ABC的两外角∠DBC与∠BCF的平分线交于点E，请你直接写出∠E与∠A的数量关系，不需证明.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠A=2∠E，证明见解析；（3）∠E=90°-∠A．

【解析】

（1）先根据角平分线的性质得出∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，再由三角形内角和定理得出∠BEC+∠EBC+∠ECB=180°，利用等量代换即可得出结论；

（2）先根据角平分线的性质得出∠EBC=∠ABC，∠ECM=∠ACM，再由三角形外角的性质即可得出结论；

（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

（1）∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠BEC+∠EBC+∠ECB=180°，

∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）

=180°-（ ∠ABC+∠ACB）=180°-（∠ABC+∠ACB）

=180°-（180°-∠A）

=180°-90°+∠A

=90°+∠A．

（2）∵BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECM=∠ACM．

∵∠ACM是△ABC的外角，∠ECM是△BCE的外角，

∴∠ACM=∠A+∠ABC，∠ECM=∠BEC+∠EBC，

∴∠ECM=∠ACM=（∠A+∠ABC）=∠BEC+∠EBC，即∠A+∠EBC=∠BEC+∠EBC，

∴∠A=2∠B∠A=2∠C，即∠A=2∠E；

（3）结论∠E=90°-∠A．

∵∠CBD与∠BCF是△ABC的外角，

∴∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，

∵BE，CE分别是∠ABC与∠ACB的平分线，

∴∠EBC=（∠A+∠ACB），∠ECB=（∠A+∠ABC）．

∵∠EBC+∠ECB+∠E=180°，

∴∠E=180°-∠EBC-∠ECB，

=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），

=180°-∠A-（∠A+∠ABC+∠ACB），

=180°-∠A-90°

=90°-∠A．