Question

【题目】阅读下列材料并解决后面的问题

材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707--1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘aa…，a记为an，如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28=3一般地若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab，即logab=n．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381=4．

（1）计算下列各对数的值：log24=______，log216=______，log264=______；

（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是______；

（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明logaM+logaN=logaMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

证明：设logaM=m，logaN=n，

由对数的定义得：am=M，an=N，

∴aman=am+n=MN，

∴logaMN=m+n，

又∵logaM=m，logaN=n，

∴logaM+logaN=logaMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；

（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？logaM-logaN=loga（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

（5）计算：log34+log39-log312的值为______．

Answer 1

【答案】（1）2，4，6；（2）log24+log216=log264；（4）见解析；（5）1

【解析】

（1）直接根据定义计算即可；

（2）根据计算的值可得等量关系式：log24+log216=log264；

（4）根据同底数幂的除法可得结论；

（5）直接运用（3）（4）中得出的公式即可将原式化简为：log3，再利用阅读材料中的定义计算即可．

解：（1）log24=log222=2，log216=log224=4，log264=log226=6；

故答案为：2，4，6；

（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216=log264；

（4）证明：设logaM=m，logaN=n，

由对数的定义得：am=M，an=N，

∴am÷an=am-n=，

∴loga=m-n，

又∵logaM=m，logaN=n，

∴logaM-logaN=loga（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

（4）log34+log39-log312，

=log3，

=log33，

=1.

故答案为：1．