Question

【题目】如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8，．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D．

（1）求证：∠BAD+∠C＝90°

（2）求线段AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）由弦切角等于同弧所对的圆周角得：∠C＝∠ABD，再根据直角三角形两锐角互余得出结论；

（2）作弦心距，由勾股定理得：OE＝3，再证明△OEB∽△BDA，列比例式可以求AD的长．

：（1）∵BD为⊙O的切线，

∴∠C＝∠ABD，

∵AD⊥BD，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD+∠ABD＝90°，

∴∠C+∠BAD＝90°，

（2）连接OB，过O作OE⊥AB于E，

∴AE＝BE＝AB＝4，

由勾股定理得：OE＝＝＝3，

∵BD为⊙O的切线，

∴OB⊥BD，

∴∠OBD＝90°，

∵∠ADB＝90°，

∴AD∥OB，

∴∠DAB＝∠ABO，

∵∠D＝∠OEB＝90°，

∴△OEB∽△BDA，

∴，

∴，

∴AD＝；

则线段AD的长为．