Question

【题目】（模型建立）

（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点.求证：；

（模型应用）

（2）已知直线：与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转至直线，如图2，求直线的函数表达式；

（3）如图3，长方形，为坐标原点，点的坐标为，点、分别在坐标轴上，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限.若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y＝7x21；（3）D（4，2）或（，）.

【解析】

（1）根据△ABC为等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定；

（2）①过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，根据△CBD≌△BAO，得出BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，求得C（4，7），最后运用待定系数法求直线l2的函数表达式；

（3）根据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y＝2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x＋6），分别根据△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，据此列出方程进行求解即可．

解：（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，

∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°，

又∵AD⊥ED，BE⊥ED，

∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，

∴∠ACD＝∠EBC，

在△ACD与△CBE中，，

∴（AAS）；

（2）①如图2，过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，

∵∠BAC＝45°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

由（1）可知：△CBD≌△BAO，

∴BD＝AO，CD＝OB，

∵直线l1：y＝x＋4中，若y＝0，则x＝3；若x＝0，则y＝4，

∴A（3，0），B（0，4），

∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，

∴OD＝4＋3＝7，

∴C（4，7），

设l2的解析式为y＝kx＋b，则，

解得：，

∴l2的解析式为：y＝7x21；

（3）D（4，2）或（，）．

理由：当点D是直线y＝2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：

当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交BC于F，

设D（x，2x＋6），则OE＝2x6，AE＝6（2x6）＝122x，DF＝EFDE＝8x，

由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，即：122x＝8x，

解得x＝4，

∴2x＋6＝2，

∴D（4，2），

此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；

当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，

设D（x，2x＋6），则OE＝2x6，AE＝OEOA＝2x66＝2x12，DF＝EFDE＝8x，

同理可得：△ADE≌△DPF，则AE＝DF，即：2x12＝8x，

解得x＝，

∴2x＋6＝，

∴D（，），

此时，ED＝PF＝，AE＝BF＝，BP＝PFBF＝＜6，符合题意，

综上所述，D点坐标为：（4，2）或（，）