Question

【题目】如图1，在中，是BC上的一点，以AD为边作，使．

（1）直接用含的式子表示的度数是_______________；

（2）以为边作平行四边形；

①如图2，若点F恰好落在DE上，试判断线段BD与线段CD的长度是否相等，并说明理由．

②如图3，若点F落在是DE上，且，求线段CF的长（直接写出结果，不说明理由）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①相等，见解析，②

【解析】

（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，可求得∠BAC＝180°2α，又由AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°，可求得∠DAE＝2α，继而求得∠ADE的度数；

（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC＝∠ABC＝α，则可得∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°，证得AD⊥BC，又由AB＝AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；

②由在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，可得∠B＝∠C＝α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE＝BF．即可证得：∠EAC＝∠C＝α，又由（1）可证得AD＝CD，又由AD＝AE＝BF，证得结论．

（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，

∴∠BAC＝180°2α，

∵∠DAE＋∠BAC＝180°，

∴∠DAE＝2α，

∵AE＝AD，

∴∠ADE＝90°α；

故答案为：90°α；

（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，

∴AB∥EF．

∴∠EDC＝∠ABC＝α，

由（1）知，∠ADE＝90°α，

∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°，

∴AD⊥BC．

∵AB＝AC，

∴BD＝CD；

②证明：∵AB＝AC，∠ABC＝α，

∴∠C＝∠B＝α．

∵四边形ABFE是平行四边形，

∴AE∥BF，AE＝BF．

∴∠EAC＝∠C＝α，

由（1）知，∠DAE＝2α，

∴∠DAC＝α，

∴∠DAC＝∠C．

∴AD＝CD．

∵AD＝AE＝BF，

∴BF＝CD．

∴BD＝CF．

∴．

故答案为：．