Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=8 ，AD=10，点E是CD的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则下列结论正确的个数是（ ） ①ME∥HG；②△MEH是等边三角形；③∠EHG=∠AMN；④tan∠EHG=

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如图3，由折叠可得，∠MEN=∠A=90°，HG⊥NE， 即ME⊥EN，HG⊥EN，
∴EM∥GH，故①正确；
∴∠NME=∠NHG，
由折叠可得，∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，
∴∠AMN=∠EHG，故③正确；
如图2，作NF⊥CD于F．
设DM=x，则AM=EM=10﹣x，
∵点E是CD的中点，AB=CD=8 ，
∴DE= CD=4 ，
在Rt△DEM中，∵DM2+DE2=EM2 ，
∴（4 ）2+x2=（10﹣x）2 ，
解得x=2.6，
∴DM=2.6，AM=EM=7.4，
∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，
∴∠DEM=∠ENF，
∵∠D=∠EFN=90°，
∴△DME∽△FEN，
∴ = ，即 = ，
∴EN= ，
∴AN= ，
∴tan∠AMN= = ，
∴tan∠EHG= ，故④正确；
又∵tan60°= ＞ ，
∴∠AMN≠60°，即∠EMH≠60°，
∴△MEH不是等边三角形，故②错误．
∴正确的结论有3个．
故选：C．


【考点精析】根据题目的已知条件，利用矩形的性质和翻折变换（折叠问题）的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．