Question

【题目】如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A，C分别落在点A′、C′处，并且点A′，C′，B在同一条直线上，则tan∠ABA′的值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠A=90°，C'D∥BC，
∵将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，
∴AB=C'D，BC=B'C'=AD=2，
设AB=x，则AB=C'D=x，A'C=A'D+CD=x+2，
∵C'D∥BC，
∴△AC'D∽△ABC，
∴C'D：BC=AD：DC，
即x：2=2：x+2，
解得：x=﹣1+ 或x=﹣1﹣ （小于0，不合题意，舍去），
∴AC'=2﹣C'D=2﹣（﹣1+ ）=3﹣
∴tan∠ABA′= = = ，
所以答案是： ．

【考点精析】利用矩形的性质和解直角三角形对题目进行判断即可得到答案，需要熟知矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．