Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，M是AD延长线上一点，且MD＝BE，连接CE，CM.

(1)求证：∠BCE＝∠DCM；

(2)若点N在边AD上，且∠NCE＝45°，连接NC，NE，求证：NE＝BE＋DN；

(3)在(2)的条件下，若DN＝2，MD＝3，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；（3）正方形ABCD的边长为6.

【解析】

（1）根据正方形的性质得到CD=BC，∠ADC=∠B=90°，

根据全等三角形的性质得到∠BCE=∠DCM；

（2）根据全等三角形的性质得到∠BCE=∠DCM，CE=CM，根据全等三角形的性质得到NE=MN，等量代换即可得到结论；

（3）设正方形的边长为x根据勾股定理即可得到结论．

（1）证明：在正方形ABCD中，

∵CD=BC，∠ADC=∠B=90°，

∴∠MDC=∠B=90°，

在△BCE与△CDM中，

，

∴△BCE≌△CDM，

∴∠BCE=∠DCM；

（2）∵∠NCE=45°，

∴∠BCE+∠DCN=45°，

∵△BCE≌△CDM，

∴∠BCE=∠DCM，CE=CM，

在△CEN与△CMN中，

，

∴△CEN≌△CMN，

∴NE=MN，

∵MN=MD+DN=BE+DN，

∴NE=BE+DN；

（3）设正方形的边长为x，

∵NE=BE+DN=MD+DN=3+2=5，AN=AD-DN=x-2，AE=x-3，

∵NE2=AN2+AE2，

∴52=（x-2）2+（x-3）2，

解得：x=6，或x=-1（不合题意，舍去），

∴正方形的边长是6．