Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx和双曲线在第一象限相交于点A（1，2），点B在y轴上，且AB⊥y轴．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒（t＞0），过点P作PD⊥y轴，交直线OA于点C，交双曲线于点D．

（1）求直线y=kx和双曲线的函数关系式；

（2）设四边形CDAB的面积为S，当P在线段OB上运动时（P不与B点重合），求S与t之间的函数关系式；

（3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点Q，使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时t的值和Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）时，Q；时，Q；时，；

【解析】

（1）把点A的坐标代入两个函数的解析式求出k和k′的值即可得到两个函数的解析式；

（2）由题意易得AB=1，OB=2，OP=t，结合（1）中所得两个函数的解析式可得：PC=，PD=，BP=，由此可得当点P在线段AB上（不与点B重合）时，CD=PD-PC=，这样S=S梯形ABCD=（AB+CD）·BP即可求得S与t间的函数关系式了；

（3）根据题意，分①CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合；②CD在AB上方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合；③CD在AB下方，BQ∥AC，BQ=AC；根据这三种情况画出对应的图形（图2和图3）结合已知条件进行分析解答即可.

（1）把A（1，2）代入y=kx和y=，

k=2，k′=2

∴直线y=kx的函数关系式是y=2x，双曲线y=的函数关系式是y=；

（2）由题意可得：AB=1，OB=2，OP=t，

∴PC=，PD=，BP=2-t，

∴当CD在AB下方时，CD=PD-PC=-．

∴S= (1+-)(2-t)= （0＜t＜2）；

（3）存在以下3种情形，具体如下：

①当CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合（如图2）时，四边形ABCQ是平行四边形，

∵CD=PD-PC=-=1，

∴，解得（舍去），

∴此时PD==，OP=t=-1，

∴当t=-1时，存在Q（，-1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；

②当CD在AB的上方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合（如图2）时，四边形ACBQ是平行四边形，

∵CD=PC-PD，

∴，解得：（舍去），

∴此时PD==，OP=t=+1，

∴当t=+1时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；

③当BQ∥AC，BQ=AC，且CD在AB下方时（如图3），此时四边形ACBQ是平行四边形，

此时Q点的坐标仍为（，+1），

过C作CG⊥AB交AB于G，过Q作QH⊥y轴交y轴于H，

易证：△ACG≌△QBH，

∴CG=BH=BP，，

∴OP=2OB-OH=4-（+1）=3-，

∴当t=3-时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．