Question

【题目】如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）

（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A ， k=；
（2）随着三角板的滑动，当a= 时：
①请你验证：抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y= 的图象上；
②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；
（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）（t，4）；
（k＞0）
（2）

解：①当a= 时，y1= x（x﹣t），其顶点坐标为（ ，﹣ ）．

对于y= 来说，当x= 时，y=- × =﹣ ，即点（ ，﹣ ）在抛物线y= 上．

故当a= 时，抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y= 的图象上；

②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．

∵AC⊥x轴，

∴AC∥EK．

∵点E是线段AB的中点，

∴K为BC的中点，

∴EK是△ACB的中位线，

∴EK= AC=2，CK= BC=2，

∴E（t+2，2）．

∵点E在抛物线y1= x（x﹣t）上，

∴ （t+2）（t+2﹣t）=2，

解得t=2．

（3）

解：如图2， ，则 x=ax（x﹣t），

解得x= +t，或x=0（不合题意，舍去）．

故点D的横坐标是 +t．

当x= +t时，|y2﹣y1|=0，由题意得t+4= +t，

∴at=1．

∵y2﹣y1= x﹣ax（x﹣t）=﹣ax2+（at+ ）x=﹣a[x2﹣（t+ ）x+（ + ）2]+a（ + ）2

=﹣a[x﹣（ + ）]2+a（ + ）2

∴当x= + 时，y2﹣y1取得最大值，

又∵当x= +t时，|y2﹣y1|=0，

∴当 + ≤x≤ +t时，|y2﹣y1|随x的增大而减小；当x≥ +t时，|y2﹣y1|随x的增大而增大．

根据题意需要满足当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，

∴t≥ + 可满足条件，

∵at=1，

∴解得t≥4．

综上所述，a与t的关系式及t的取值范围为at=1（t≥4）．

【解析】 解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，∴点A的坐标是（t，4）．又∵直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0），∴4=kt，则k= （k＞0）．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．