Question

【题目】某商店经营儿童玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是200件，而销售单价每上涨2元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时，月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2280元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大为多少元？

Answer 1

【答案】
（1）

解：y=（30+x﹣20）（200﹣10× ）=﹣5x2+150x+2000．（0＜x≤10）．

（2）

解：y=2280时，﹣5x2+150x+2000=2280，

整理得到x2﹣30x+56=0，

解得x=2或28（舍弃），

∴售价定为32元时，月销售利润恰为2280元．

（3）

解：∵y=﹣5x2+150x+2000=﹣5（x﹣15）2+3125，

∴x＜15时，y随x增大而增大，

∵0＜x≤10，

∴x=10时，y最大值=3000，

∴每件玩具的售价定为40元时，月销售利润达到最大，最大值为3000元．

【解析】（1）根据利润=销售数量×每件的利润，列出式子即可解决问题．（2）利用（1）的关系式，y=2280，解方程即可解决问题．（3）利用配方法，根据函数的增减性即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．