Question

【题目】在等腰△ABC中，AB=AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P.

(1)依题意补全图形；

(2)若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；

(3)小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）补图见解析；（2）∠BDA=45°+α；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）按要求在图中画出相应图形即可；

（2）由∠BAC=2α结合BD⊥AC于点H，可得∠ABH=90°-2α，再结合BD=AB即可求得∠BDA；

（3）首先按要求补充完整图形，由点D和点E关于BP对称，可得BE=BD=AC，DE=2DG，DE⊥BP，∠DBP=∠EBP，结合（2）中结论，可证得∠DBE=2α=∠BAC，从而可证得△ABC≌△BDE，由此可得BC=DE；由∠P=∠ADB-∠DBP可得∠P=45°，结合DE⊥BP可得，结合BC=DE=2DG即可得到DG与DP间的数量关系了.

试题解析：

（1）将图形按要求补充完整如下：

（2）∵BD⊥AC于点H，

∴∠AHB=90°，

又∵∠BAC=2α，

∴∠ABH=90°-2α，

∵BA=BD

∴∠BDA=∠BAD= ；

（3）补全图形，如下图所示：

证明过程如下：

∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，

∴DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，

∵AB=AC，∠BAC=2α

∴∠ABC=∠ACB= ，

由（2）知∠ABH=90°-2α，

∴∠DBP=90°-α-（90°-2α）=α

∴∠DBP=∠EBP=α

∴∠BDE=2α

∵AB=BD=AC=BE，

∴△ABC≌△BDE，

∴BC=DE，

∵∠DPB=∠ADB-∠DBP=45°+α-α=45°，∠DGP=90°，

∴，

∴，

∴，

∴BC=DP.