Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点P的横坐标为x，纵坐标为2x，满足这样条件的点称为“关系点”.

(1)在点A(1,2)、B(2,1)、M(，1)、N(1， )中，是“关系点”的为 ；

(2)⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；

(3)点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C的半径r的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A、M；（2）或；（3）或.

【解析】试题分析：

（1）由“关系点”的定义可知，关系点的纵坐标等于横坐标的2倍，由此可知四个点中A点和M点是“关系点”；

（2）由题意按要求作半径为1的⊙O，如图1，在⊙O上取点P，根据关系点的定义设点P的坐标为（x，2x），过点P作PG⊥x轴于点G，在Rt△OPG中，由勾股定理建立方程，解方程求得x的值，即可得到点P的坐标；

（3）“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2，且⊙C上有且只有一个“关系点”P，故结合图2分以下两种情况讨论可得本题答案：①当⊙C和直线相切于点P1时，⊙C上有且只有一个“关系点”；②设点P2的坐标为（2，4），点P3的坐标为（-2，-4），连接CP2，CP3，当CP2<r<CP3时，⊙C上有且只有一个“关系点”；综合①②即可得到本题答案.

试题解析：

（1）由“关系点”的定义可知，“关系点”的纵坐标等于横坐标的2倍，由此可知四个点中点A、M是“关系点”；.

（2）由题意按要求作半径为1的⊙O，如图1，在⊙O上取点P，过点P作PG⊥x轴于点G，由题意可设P（x，2x），

∵在Rt△OPG中，OG2+PG2=OP2 ，

∴x2+4x2=1，

∴5x2=1，

∴x2=，

∴x=，

∴P或P；

（3）由“关系点”的定义可知，所有的关系点都在直线上；

∵“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2，且⊙C上有且只有一个“关系点”P，

∴①当⊙C和直线相切于点P1时，⊙C上有且只有一个“关系点”；②设点P2的坐标为（2，4），点P3的坐标为（-2，-4），连接CP2，CP3，当CP2<r<CP3时，⊙C上有且只有一个“关系点”；

①如图2，当⊙C和直线相切于点P1时，此时⊙C上有且只有一个“关系点”，

过点P1作P1D⊥x轴于点D，则OD=x，P1D=2x，OP1= ，

∴sin∠P1OD=，

∴此时⊙C的半径=OC×sin∠P1OD=；

②如图2，当x=2时，点P2的坐标为（2，4），连接CP2，在Rt△CEP2中，由勾股定理可得CP2=；

当x=-2时，点P3的坐标为（-2，-4），连接CP3，在Rt△CFP3中，由勾股定理可得CP3=；

∴当时，在的范围内，⊙C与直线只有一个交点.

综上所述，点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2时，⊙C的半径的取值为： 或.