Question

【题目】已知：如图（1），如果AB∥CD∥EF. 那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.

老师要求学生在完成这道教材上的题目后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？

（1）小华首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小华用到的平行线性质可能是______________.

（2）接下来，小华用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB，EF，然后在平行线间画了一点C，连接AC，EC后，用鼠标拖动点C，分别得到了图（2）（3）（4），小华发现图（3）正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图（2）和（4）中的∠BAC，∠ACE与∠CEF之间也可能存在着某种数量关系．然后，她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系.

请你在小华操作探究的基础上，继续完成下面的问题：

①猜想：图（2）中∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系： .

②补全图（4），并直接写出图中∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系： . （3）小华继续探究：如图（5），若直线AB与直线EF不平行，点G，H分别在直线AB、直线EF上，点C在两直线外，连接CG，CH，GH，且GH同时平分∠BGC和∠FHC，请探索∠AGC，∠GCH与∠CHE之间的数量关系？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补.（2）①∠ACE=∠BAC+∠FEC.②∠ACE=∠FEC-∠BAC．（3）2∠GCH=∠AGC+∠CHE．

【解析】

（1）根据两直线平行同旁内角互补即可解决问题；

（2）①猜想∠ACE=∠BAC+∠FEC．过点C作CD∥AB．利用平行线的性质即可解决问题；

②∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系是∠ACE=∠FEC-∠BAC．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；

（3）延长AB，EF，交于点P，依据∠CGP=180°-∠AGC，∠CHP=180°-∠CHE，即可得到∠CGP+∠CHP=360°-（∠AGC+∠CHE），再根据四边形内角和，即可得到四边形GCHP中，∠C+∠P=360°-（∠CGP+∠CH）=∠AGC+∠CHE，进而得出结论．

(1)如图，

∵AB∥CD∥EF

∴∠BAC+∠ACD=180°,（两直线平行，同旁内角互补）

∠DCE+∠CEF=180°,（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.

故答案为：两直线平行，同旁内角互补.

（2）①图（2）中∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系：∠ACE=∠BAC+∠FEC.

证明：过点C作CD∥AB，如图，

∴∠BAC=∠ACD，

∵AB∥EF，

∴EF∥CD，

∴∠DCE=∠CEF

∴∠ACD+∠DCE=∠BAC+∠CEF，即∠ACE=∠BAC+∠FEC.

②连接AC，CE交AB于点D，如图，

∵AB∥EF

∴∠BDC=∠CEF，

∵∠BDC=∠BAC+∠ACE

∴∠CEF=∠BAC+∠ACE，即∠ACE=∠FEC-∠BAC．

(3) 延长AB，EF，交于点P，如图，

∵GH同时平分∠BGC和∠FHC，

∴∠CGH=∠BGH，∠CHG=∠FHG，

∴∠C=∠P，

∵∠CGP=180°-∠AGC，∠CHP=180°-∠CHE，

∴∠CGP+∠CHP=360°-（∠AGC+∠CHE），

∵四边形GCHP中，∠C+∠P=360°-（∠CGP+∠CH）=360°-[360°-（∠AGC+∠CHE）]= ∠AGC+∠CHE，

即2∠GCH=∠AGC+∠CHE．