Question

【题目】解答题
（1）如图1，AD、BC相交于点O，OA=OC，∠OBD=∠ODB．求证：AB=CD．
（2）如图2，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若OD= ，求∠BAC的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠OBD=∠ODB，

∴OB=OD，

在△AOB与△COD中， ，

∴△AOB≌△COD（SAS），

∴AB=CD

（2）解：连接OC，如图所示：

∵CD与⊙O相切，

∴OC⊥CD，

∵OA=OC，OA=1，

∴OC=1，

∴CD= = =1，

∴CD=OC，

∴△OCD为等腰直角三角形，

∴∠COB=45°，

∴∠BAC= ∠COB=22.5°．

【解析】（1）由∠OBD=∠ODB，得出OB=OD，再由SAS证得△AOB≌△COD，即可得出结论；（2）连接OC，由CD与⊙O相切，得出OC⊥CD，求出CD=1，得出△OCD为等腰直角三角形，推出∠COD=45°，即可得出结果．
【考点精析】认真审题，首先需要了解切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)．