Question

【题目】如图，在等腰直角三角形MNC中．CN=MN= ，将△MNC绕点C顺时针旋转60°，得到△ABC，连接AM，BM，BM交AC于点O．
（1）∠NCO的度数为；
（2）求证：△CAM为等边三角形；
（3）连接AN，求线段AN的长．

Answer 1

【答案】
（1）15°
（2）证明：∵∠ACM=60°，CM=CA，

∴△CAM为等边三角形

（3）解：连接AN并延长，交CM于D，

∵△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，

∴NC=NM= ，CM=2，AC=AM=2，

在△ACN和△AMN中，

，

∴△ACN≌△AMN（SSS），

∴∠CAN=∠MAN，

∴AD⊥CM，CD= CM=1，

∴Rt△ACD中，AD= CD= ，

等腰Rt△MNC中，DN= CM=1，

∴AN=AD﹣ND= ﹣1．

【解析】（1）由旋转可得∠ACM=60°，再根据等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，运用角的和差关系进行计算即可得到∠NCO的度数；（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行证明即可；（3）根据△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，判定△ACN≌△AMN，再根据Rt△ACD中，AD= CD= ，等腰Rt△MNC中，DN= CM=1，即可得到AN=AD﹣ND= ﹣1．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°，以及对等边三角形的判定的理解，了解三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．