Question

【题目】已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．

（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE=OG；

（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE=OG，

①求证：∠ODG=∠OCE；

②当AB=1时，求HC的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）①证明见解析；②

【解析】试题分析：（1）欲证明OE=OG，只要证明△DOG≌△COE（ASA）即可；

（2）①欲证明∠ODG=∠OCE，只要证明△ODG≌△OCE即可；

②设CH=x，由△CHE∽△DCH，可得，即HC2=EHCD，由此构建方程即可解决问题；

试题解析：（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD=OC，∴∠DOG=∠COE=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC+∠ODG=90°，∴∠ODG=∠OCE，∴△DOG≌△COE（ASA），∴OE=OG．

（2）①证明：如图2中，∵OG=OE，∠DOG=∠COE=90°OD=OC，∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG=∠OCE．

②解：设CH=x，∵四边形ABCD是正方形，AB=1，∴BH=1﹣x，∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH=∠EBH=45°，∴EH=BH=1﹣x，∵∠ODG=∠OCE，∴∠BDC﹣∠ODG=∠ACB﹣∠OCE，∴∠HDC=∠ECH，∵EH⊥BC，∴∠EHC=∠HCD=90°，∴△CHE∽△DCH，∴，∴HC2=EHCD，∴x2=（1﹣x）1，解得x=或（舍弃），∴HC=．