Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上一点，满足CF⊥CP，过点B作BM⊥CF，分别交AC、CF于点M、N

（1）若AC=AP，AC=4，求△ACP的面积；

（2）若BC=MC，证明：CP﹣BM=2FN．

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析

【解析】

（1）由正方形的性质得出AD=CD=5，∠ADC =90°，根据勾股定理以及AC的长可求得AD=CD=4，再根据AC=AP求出AP长，即可求出S△ACP；

（2）在CF上截取FN=NG，连接BG，由已知可证得△BCF≌△DCP，可得CF=CP，继而可证得△BCG≌△ABM，可得BM=CG，结合图形即可推导得出CP﹣BM=2FN．

（1）∵四边形ABC是正方形，

∴AD= CD，∠ADC =90°，

∴AC=,

∵AC=4，

∴AD=CD=4，

∵AC=AP，

∴AP=，

∴S△ACP=AP×CD

=××4

=7；

（2）在CF上截取FN=NG，连接BG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CB=CD，

∠CBF=∠CDP=∠BCF+∠FCD=90°，

又∵CF⊥CP，

∴∠DCP+∠FCD=90°，

∴∠BCF=∠BCD，

在△BCF和△DCP中，

，

∴△BCF≌△DCP，

∴CF=CP，

∵BC=MC，BM⊥CF，

∴∠BCF=∠ACF=∠BCA=22.5°，

∴∠CFB=67.5°，

∵FC⊥BM，FN=NG，

∴BF=BG，

∴∠FBG=45°，∠FBN=22.5°，

∴∠CBG=45°，

在△BCG和△BAN中，

，

∴△BCG≌△ABM，

∴BM=CG，

∴CF﹣CG=FG，

∵BF=BG，BM⊥CF，

∴FN=NG，

∴CP﹣BM=2FN．