Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线与直径CD的延长线交于点E，已知AE=AC．

（1）求∠B的度数；
（2）若ED=1，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OA，

∵AE是⊙O的切线，

∴OA⊥AE，

∵AE=AC，OA=OC，

∴∠E=∠ACE=∠OAC，

∵∠BAC+∠E+∠ACE=180°，

∴90°+3∠E=180°，

∴∠E=∠ACE=∠OAC=30°，

∴∠AOC=90°+30°=120°，

∴ 的度数为120°， 的度数为240°，

∴∠B=120°

（2）解：∵在直角三角形OAE中，∠E=30°，

∴OE=2OA，

∵OA=OD，

∴OA=OD=OE=1，

∴OE=2，

∴AE= = ．

【解析】（1）根据切线的性质得出OA⊥AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠E=∠ACE=∠OAC=30°，得出∠AOC=120°，从而求得 的度数为120°， 的度数为240°，即可求得∠B=120°；（2）根据30°的直角三角形的性质得出OE=2OA=2OD，得出OD=ED=1，得出EO=2，根据勾股定理即可求得AE．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．